软件锁相环SPLL

SPLL连续时间模型
设一个三相系统正序n次谐波电压如下式所示：
u_a (t)=Ucos(wt)

u_b (t)=Ucos(wt – 2π/3)

u_c (t)=Ucos(wt+ 2π/3))
运用Clark变换，可以将三相电压从三相坐标系转换到αβ两相静止坐标系：
[■(V_α@V_β )]= 2/3 [■(■(1&-1/2&-1/2)@■(0&√3/2&-√3/2))][■(u_a (t)@u_b (t)@u_c (t))]=U[■(cos⁡(wt)@sin⁡(wt))]
再运用Park变换将两相静止坐标系转换到dq同步旋转坐标系：
[■(V_d@V_q )]= [■(cosθ_o&sinθ_o@-sinθ_o&cosθ_o )][■(V_α@V_β )]= U[■(cos⁡(wt- θ_o)@sin⁡(wt- θ_o))]
从上式可知，当相位没有锁定时，wt ≠ θ_o，因此d轴分量V_d和q轴分量V_q都是交流分量。当wt ≈ θ_o时，V_d=U，V_q = 0，此时锁相环进入锁相状态。锁相环的结构框图如图1-1所示。

SPLL离散时间模型
设电网的三相正序基波电压在离散采样时刻n时转化到dq同步旋转坐标系的结果如下式：
[■(V_d (n)@V_q (n))]= U[■(cos⁡(θ(n)- θ_o(n))@sin⁡(θ(n)- θ_o (n)))]
上式中θ(n)= wTn+ φ，n为采样时刻， w是基波角频率，T为采样周期，φ为初相角。随着采样时刻n的不断增加，系统相位每次增加wT。
如果实际相位θ(n)与锁相环反馈的相位θ_o (n)相差较小时，就可得到锁相环的线性离散模型，这将问题简化为如何使两个角频率及相位不同的正弦波同步。
锁相环的数字鉴相器在n时刻的误差信号可如下式：
e(n)= V_q-0=sin⁡(θ(n) – θ_o (n)) ≈ θ(n) – θ_o (n)
锁相环离散时间模型如图2-1和图2-2所示。首先将三相电网电压转换到αβ两相静止坐标系，并计算出三相电网电压合成矢量在αβ两相静止坐标系中的相位角θ。

然后根据三相电网电压合成矢量在αβ两相静止坐标系中的相位角θ及软件锁相环的离散时间模型得到稳定的电网基波相位θ_o。

图1-1所示的锁相环模型及图2-2所示的锁相环时间离散模型最大的差别是鉴相器部分的差别。图1-1中的鉴相器是通过θ_o计算出dq同步旋转坐标系的q轴分量，然后与0做差。图2-2中的鉴相器是通过θ_o与电网三相电压合成矢量在αβ两相静止坐标系中的相位做差。两个锁相环的模型虽然表示方式有差别，但鉴相器的本质作用是相同的。
在n时刻SPLL锁相环误差信号的物理解释如图2-3所示。

锁相环调整的过程是先调频后调相，即当两者的频率一致时，再进行相位的调整。图1-1及图2-2的锁相环结构中加入额定电网频率就可以更快实现角频率的同步，相当于角频率给了一个补偿。
也可以这样理解，当锁相环的输入是电网电压矢量的相位角度的时，该输入量已经包含了角频率，理想情况下该角频率是电网额定角频率。锁相环在锁相的过程中会调节同步旋转坐标系的角频率及相位，PI的输出叠加电网额定角频率可以表示角频率已经调节到相同了，只需要再调节相位就可以了。这种结构主要是调相位，不需要调节角频率或者不需要用太多的时间调节角频率，使锁相的速度变快。前提是电网的实际频率与电网额定频率的偏差不大。
3、锁相环中PI环节的作用
PI环节相当于锁相环结构中的环路滤波器。鉴相器产生的误差中含有高频分量和噪声等，通过环路滤波器后可以滤除他们。
[■(V_d@V_q )]= [■(cosθ_o&sinθ_o@-sinθ_o&cosθ_o )][■(V_α@V_β )]= U[■(cos⁡(wt- θ_o)@sin⁡(wt- θ_o))]= U[■(cos⁡(wt- w_o t)@sin⁡(wt- w_o t))]
上式中θ_o= w_o t，w_o用来表示dq坐标的旋转角频率。
由坐标变换的原理可知，电压信号中正序分量经过dq变换后其角频率减小了dq坐标的旋转角频率，而负序分量则增加了dq坐标的旋转角频率，因此基波正序分量呈现为低频分量。在锁定情况下为直流量，负序分量与谐波分量呈现为高频分量，可以通过低通滤波器进行滤除。PI环节可以起到低通滤波器的作用，使锁相得到的基波相位结果更稳定。
4、电网基波相位角计算电网频率
根据电网电压矢量相位角计算电网频率：
∆θ= θ_o (k)- θ_o (k-1)
上式中∆θ表示经过一个电网周期时电网电压矢量旋转的角度，θ_o (k)表示经过第k个电网周期电网电压矢量旋转的角度。
∆t= count/sampleFreq
上式中∆t表示测量到的一个电网周期的时间。count表示一个电网周期内中断执行的次数，sampleFreq是采样周期，表示1s时间内中断执行的次数。
w= ∆θ/∆t
上式中w表示电网角频率。
F_grid= w/2π= (∆θ ×sampleFreq )/(2π ×count)
上式中F_grid表示电网频率。
“相位变化值”转换为频率偏移：
f_偏移1=(360^。*F)/(360^。-相位变化值 )-F。